大寒：推步聚顶，推陈出新。

大寒惯例是做科普小结：接着2020年水分子回乡、2021年元素漫谈、2022年化工特点，2023年知识理解，2024年浅谈数学。今天只分享故事，略去复杂的推导。

电视剧版《显微镜下的大明·丝绢案》围绕田地丈量展开，扑朔迷离的剧情在“推步聚顶”中达到高峰。相比微积分求不规则多边形面积，推步聚顶实用性极强，更适用丈量“妖田”：

在求面积的众多方法中，规整图形面积公式法是特法，微积分法是通法。中国传统的割补法，把复杂多边形分解成若干简单的规整图形来计算,已经有了微积分法雏形，比如祖冲之割圆术求圆面积进一步得圆周率，以及我们小时候画方格纸数格子数求多边形面积。祖冲之之子祖暅在圆基础上求球形体积，提出“幂势相同，积不容异”（底面积和高相同，则体积相同，比如柱体和锥台。“幂”表示面积，“势”表示高，“积”表示体积），更是将微积分思想发挥到极致，虽然那时没有微积分的概念。

割补法归根结底属于几何法，在实际应用中也存在弊端。随着坐标系的发明，打破了几何和代数的藩篱，人们开始用代数方法解决几何问题。微积分的建立也得益于坐标系的发明，后一跃成为面积和体积计算的通法。但通法的弊端是复杂，比如微积分求面积先获得被积分函数才能积分，这在实际应用中很困难。每一类具体问题还有相应简便的特法。推步聚顶就是这样的特法，它通过坐标点求面积，也是向量法的一种特例，有兴趣者可以自行了解。还有更简便的数点法（皮克公式）：面积=内点数+边点数/2-1。

温故知新

“推步聚顶”法激发起一定的数学兴趣，于是半年前写下《化工大楼装修与搬迁过程中的责任体系任务分工项目推进和统筹方法研究》。后来看了学院宣传视频《我的学科有故事——马丁侯方程》，也激发了一些数学兴趣，于是上个月挤出点时间写了：过去五年来睡眠变化的初步研究。温故知新，回顾我的数学学习之路：

受爸爸影响，我从小酷爱数学，也为祖先珠算宗师程大位感到骄傲。初中成为我包括数学在内的兴趣全面发展黄金期：初一初二掌握了课本外无限循环小数求分数、割圆术求圆周率、二项展开法从开平方推导开立方的方法等等。这里面有无穷无尽的乐趣，我也建立了对数学的信心。从那时起，我记住了圆周率小数后62位。近十几年也写了几篇数学相关文章，基础也起源于初中。比如：2007年，我在双刀电路基础上，独立完成了三刀电路的设计，形成了数年后我对大学电工学中逻辑电路的最初认知；2012年，在龙老师指导下，写作氢离子浓度误差计算的课程论文，奠定了我对统计学和分析化学的基础，也形成了一套误差哲思和习惯；2017年我去杭州参加考研面试，辗转两地发现日出时间差异，于是在备考期间，我完成了不同经纬不同日期日出时间和太阳高度的计算，这让我对古代天文历法有了极强的兴趣，当时甚至尝试转报天文专业。

相比数学知识，数学方法更有意思。

方法是获得知识的途径，方法也是特殊的知识。如果说知识是景观，方法就是视角；知识是产品，方法就是工具。除了常规的数学方法，还有一种有趣的数学方法，叫做设置场景法，对同一问题设置不同场景加以分析处理，得到殊途同归的答案。比如组合学中重计数法(Double Counting)，同一个对象采用两种不同计算方式，得到两个迥异又相等的表达式，从而形成等式的方法。这里不同的计算方式即不同的应用场景、不同方法或视角。所以寻找相同数学命题的不同解法，可以从不同应用场景中获得启发。

我的所有数学相关创作都是基于一定的应用场景。简单介绍前面三个数学创作的应用场景：1、三刀电路：如何用三个开关独立控制同一盏灯？2、氢离子浓度：如何根据不同误差要求选择最简便计算方式？3、日出公式：如何精准计算任意地点日期的日出时间和太阳高度？当我解决这些具体应用场景的数学问题后，还会设计出一个可以满足实际要求的开关器件，对所用数学方法进行了归纳总结，并尝试寻找一种通用的方法。

相比数学方法，数学思想更有意义。

数学思想包括理解和应用。比如万物皆数世界观，推步聚顶丈量田地，数点法计算围棋官子等等。理解和应用是有机统一的，在数学应用过程中加深了对数学概念的理解，比如古人丈量田地或下围棋时，不经意领悟了面积计算。

在数学思想影响下，我也形成每隔五年完成一项数学相关创作的习惯：首先这些创作需要借助数学工具完成，其次创作最终目的是学以致用。并且我的专业是化学化工，专业基础是数学和物理，要解决的也是实际问题。如果说化学是研究变化（现象）的学科，那么数学是研究不变（本质）的学科。“数”在古代有算术和规律的意思，正如檀公《三十六计》所道：

一候鸡始乳

二候征鸟厉疾

三候水泽腹坚

母鸡感知阳气，开始孵小鸡。鹰盘旋高空寻找猎物。坚冰冻到水中央，寒至极处春水生。