🔥 热搜 🔥
上海习近平新疆鄂州父女瓜乌鲁木齐疫情H工口小学生赛高习明泽芊川一笑图包印尼排华
分类
社会娱乐国际人权科技经济其它
🔥 热搜 🔥
上海习近平新疆鄂州父女瓜乌鲁木齐疫情H工口小学生赛高习明泽芊川一笑图包印尼排华
分类
社会娱乐国际人权科技经济其它
查看原文
其他

芝诺悖论引发的数学概念 06

Masir 科学羊 2024-03-30

本系列文章预计会有20+个章节，这套文献将系统讲述科学与技术本身，这里是第七季第6篇
--本文预计阅读5min--

接下来的篇幅，我们暂且先不谈上期说到的那位电磁数学理论苏格兰人。我们先来仔细谈谈牛顿和莱布尼茨之间的恩怨故事，说白了就是关于微积分“发明”争论。

任何科学发现等到了它该出现的时间，它总会被一位伟大的人物发现。

我们不是说古人的人愚昧，为什么这么简单的道理和数学知识到了17世纪才会被发现呢，其实主要原因是信息量还不够大。

人类科技的积累犹如往量杯里面倒水，5ml的水一定是在4.9ml之后才能达到，我认为科学的发现也是类似！

而微积分的发现真正来自于当时善于思考的学者对芝诺悖论的论证。

事实上从某种意义来说，微积分的起源来自于芝诺悖论，我们之前物理学体系讲过这个概念，感兴趣的可以查阅往期。

03 “芝诺悖论”的本质是什么？

01 极限

芝诺的论证本质上就是提出关于无限的论题。这似乎是常识，亦即如果你持续进行加法，而你所加上的每个数字都大于零，那么最终得到的总和就会是无限。

用现代的术语来说，芝诺悖论的总和就是下列数串加总起来的结果——1+1/2+1/4+1/8+1/16+……——总计结果是无限的。

芝诺从来没有以这种方式架构他的问题。他并不注重这样特定的分数链，而是一般性地议论对任何无尽的数列来说，怎样才是真实的状况。

理由很简单，他认为“数字会持续下去，而每个数字都会使总和增加”。

后来，善于思考的人发现了一个问题，从1+1/2开始，得出1又1/2的结果。

这没有什么好吓人的。那么1+1/2+1/4呢？结果是1又3/4，还算能接受。

1+1/2+1/4+1/8呢？结果是1又7/8。

他们加总的数字越来越多，从没遇到麻烦。

加总的数字继续增加，情况变得越来越清楚，数字2代表了某种临界边缘。

你可以任意获得接近边界的数字——千分之一或十亿分之一，甚至更接近——但可以肯定的是，你永远无法像赛跑者冲破终点线那样突破这道边界。

所以，芝诺是错的。如果总和如他所相信的应该是无限的，那么它将会比任何你能想到的数字来得大——大于100，大于10万，以此类推。

但是，芝诺的总和并不会超过任何你所能说出的数字。正好相反，总和恰恰是普通的数字2。

02 数列

数学极限是一个目标，是数列越来越接近的目标。序列无须达到极限，但它确实会越来越接近极限。

数列1，0.1，0.01，0.001，0.0001……的极限是数字0，即使这串数列永远不会达到0。

同样地，1/2，3/4，5/6，7/8，9/10，10/11……的极限是数字1，但这串数列也同样永远不会达到它的极限。

数列1，2，1，2，1，2……没有极限，因为它的数字持续来回反复，目标并不在一处。

芝诺悖论一直让物理学家和数学家们开始着手处理他们真正想回答的问题——瞬时速度意味着什么？

他们必须正视芝诺的悖论。

他们想知道一辆出租马车在中午12点那一刻的瞬时速度，结果发现自己被无限后退的形式问题缠上，马车在12点和12点1分之间的速度是多少？在12点和其后30秒之间呢？12点和其后15秒之间呢？在12点和……呢？

接着你的烦恼将一扫而空。这个极限将是一个数字——一个明确、非常普通的数字。这就是“瞬时速度”的意思，就这么简单。

但远古伟大的数学家，以及之后15个世纪的后继者都没能看出。

虽然这还不是微积分，但是已经快接近了！

03 微积分的意义

微积分在本质上就是数学的显微镜，让你能固定动作并将之从头到脚看仔细的工具。

有些时刻显得更为重要——箭镞达到射程最高点那一瞬间的高度、炮弹砸毁城墙那一瞬间的速度、彗星环绕太阳时的速度——而有了微积分的帮助，你可以将那些特定的时刻固定在显微镜的载玻片上仔细研究。

至少那些最近的乐观派数学家是这么认为的。但是，当他们拿起这台“显微镜”（指微积分）的时候，不管怎么扭动它的“旋钮”，他们都无法得到清晰的画面。

很快他们就意识到问题在于所有的一切都依赖于极限这个概念，而极限并不如他们想象的那般直截了当。

想起来简单做起来难，他们实在没有一个趁手的工具去打开微观世界的大门。

而这个工具正好是牛顿和莱布尼茨所争论东西，下节再谈。

好，今天就先这样啦~

Masir 2022/10/10
于 东莞
祝幸福~

参考文献:

[1] 《机械宇宙》

[2]《物理世界的数学奇迹》

[3] 图片来自于网络


往期推荐



皮埃尔–西蒙·拉普拉斯（下）05

皮埃尔–西蒙·拉普拉斯（上）04

牛顿遗留的几个问题 03

伟大的数学（下）02

伟大的数学（上）01

第七季物理学——“阅读说明书”

物理学第七季-序言

继续滑动看下一个
科学羊
向上滑动看下一个

您可能也对以下帖子感兴趣

文章有问题？点此查看未经处理的缓存