三体问题与拓扑学的起源 05

本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述物理学本身，这里是第六季第5篇

--本文较长，预计阅读7min--

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接上一节，在19世纪中叶，热力学领域涉及了一些不确定问题，而这些问题一直是让物理学家头痛的地方。

就好比，你明明已经花费毕生心血发明了一个伟大的公式，它能推导出一个物理假设的结果，但又发现有些数据的推导结果总会有偏差...

其实并不是你的公式有问题，而是有可能你陷入了混沌的泥潭...请往下看！

热力学中有一种平衡态是指系统内部各点的温度、压强、浓度等参数处处相等，即分子的混乱度极高，这其实是一种混沌。

1865年，德国物理学家克劳修斯把热力学第二定律推广到无限的宇宙，即把熵增原理加以推广，认为宇宙最终将处于一个熵极大的热平衡态，得出了“热寂”的结论。

遗憾的是，当时的科学家对于混沌并不感兴趣，他们关心的是在微观上看来是混沌的现在，在宏观上会表现出什么样的规律或秩序。

 三体问题

第一个明确的混沌系统例子是19世纪末由法国伟大的数学家庞加莱给出的。

1887年，瑞典国王奥斯卡二世悬赏征求天文学中的一个基本问题：太阳系稳定吗？

这是针对太阳、地球和月亮之间关系的一个问题，史称“三体问题”。

该问题的初衷是能否用牛顿定律预测通过引力相互作用的三个物体的长期运动（答案是完全不行）。牛顿已经解决了二体问题。但是，三体问题要复杂得多。提出这个问题是为了确定太阳系是否稳定，行星会维持还是会偏离目前的轨道（当时的国王真是有伟大的梦想啊！）。

我们先看看什么是“二体问题”。

二体问题（或者说开普勒问题）是研究两个质点在互相引力作用下的运动，我认为这个问题现在中学生就能解决...

从原理上讲，二体问题简单是因为有封闭形式的解析解，咱们可以用首次积分将运动学方程逐步化简。然而多了一个质点的三体问题却没有足够多的首次积分，从而导致没有解析解，这就导致特别复杂。

在对三体问题的研究过程中，庞加莱将很大的精力放在了对于周期轨道的寻找中（事实上，庞加莱认为研究周期轨道是人们理解复杂三体问题的唯一途径）

在过去的几十年里，借助于电子计算机的发展，研究者得以利用数值积分方法陆陆续续发现了三体系统中一些很规整的平面周期轨道。比如：

（最简单的“8字形”周期轨道）

（“蝴蝶 I 型”轨道）

（“蜻蜓”轨道）

（蚂蜂”轨道）

目前已经发现的三体问题平面周期轨道基本上都记录在了这个网站http://three-body.ipb.ac.rs/，感兴趣的朋友可以查阅。

好，我们接上主题...

太阳系的运动是动力学领域一个极其复杂的问题。其运动肯定存在，而稳定性则是一个比存在性要复杂得多的问题。

1888年，庞加莱把动力系统和拓扑学两大领域结合起来，证明了周期轨道的存在。

通过详细研究周期轨道附近流的结构，庞加莱发现了对初始条件的敏感依赖性。

对初始条件的敏感依赖性指的是，如果系统是混沌的，在测量初始位置时即使只有极其微小的误差，在预测其未来的运动时也会产生巨大的误差。

对于这样的系统，一点点误差，不管多小，也会导致长期预测很不精确。他意识到，仅仅三体引力相互作用就能产生出惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解具有不可预见性，这就是“混沌”。

当时庞加莱参赛论文的题目是《论三体问题和动力学方程》。

庞加莱为解决这个问题创建了一个新的数学分支，代数拓扑（algebraic topology）。

拓扑学中最著名的是“庞加莱猜想”，即对宇宙的形状的猜测，21世纪初由俄罗斯数学家佩雷尔曼证明了这个猜想。虽然庞加莱没有成功地给出一个完整的解答，但他的工作令人印象深刻，最终还是在1888年赢得了奖金。

庞加莱的工作揭示出，混沌或潜在混沌是非线性系统的本性，甚至像行星轨道运动这样完全确定的系统，也能产生不确定的结果。

在某种意义上，他已经看到极其微小的效果可以通过反馈得到放大。

他觉察到一个简单的系统可能爆发出惊人的复杂性。他对此总结：

“如果我们能知道自然界的定律和宇宙在初始时刻的精确位置，我们就能精确预测宇宙在此后的情况。

但是，即使我们弄清了自然界的定律，我们还是只能近似知道初始状态。

如果我们能同样预测以后的状态，这就够了。然而，初始条件的细微差别可能导致最终现象极大不同。预测变得不可能……”

庞加莱在科学哲学名著《科学与方法》一书中说，“每个现象不管多么微不足道，都有原因”。

原因只能够产生一个结果，而同一结果却可以由几个不同的原因产生。

另一个现象是，微小的原因可以产生巨大的结果，令人印象深刻的不是原因的微小，而是它们的复杂性。任何偶然的结果都没有简单的原因。当原因上的微小差别足以引起结果上的巨大差别时，偶然性必定服从某种规律。

庞加莱说：“事实上，偶然性一词没有任何意义，或者确切地讲，根本就不存在什么偶然性，只是由于我们人类的无知和软弱，这个词看来才有意义。”

混沌的发现使人们突然醒悟到对经典力学实际上还知道得太少。混沌事实上是非线性系统较普遍存在的一种行为，对混沌的了解，在近年来发展得非常快。

对混沌的研究大大丰富了我们对事物演变的认识，不仅使我们对一些非线性系统的复杂行为有了正确的认识，也使许多长期以来无法解决对复杂现象的研究有了新的希望。

混沌现象在很多系统中都被观测到了，如心脏、湍流、电路、水滴，还有许多其他看似无关的现象。变化，难以预测的宏观行为是复杂系统的标志。混沌系统的存在现在已成为科学公认的事实。

庞加莱的思想远远超过了时代，他意识到对初始条件的敏感依赖性将会阻碍对天气的长期预报。

他在某种程度上已经意识到确定性系统具有内在的随机性，成为世界上最先了解存在混沌可能性的人，但他关于混沌现象的早期探索未能得到当时科学界应有的评价和响应。

他的远见在1963年被证实，美国气象学家爱德华·洛伦兹发现，即使用很简单的计算机气象模型，也会有对初始条件的敏感依赖性。确定性动力学方程的某些解具有不可预见性，这就是现在人们熟知的“蝴蝶效应”。

总结

学科的发展总是惊奇的相似，其实很多学科都是基于现象才发现了规律，而现象的本质就是物理学。

物理学不仅教会了我们思考宇宙的奥秘，而且让我们理解自身，并让我们知道自身的渺小。

Masir 2022/06/27

祝 愉快~

参考文献 

[1]《时空简史》

[2] 参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/21311157[作者：Probe]

[3] 部分图片来源网络

[4] 阅读本文前需要往期推荐文章作为基础载体